□本期话题：重温教学的经典力量
　　教育是什么？数学教育是什么？每一节课似乎都会引发我们对这些本原问题的思考，尤其是当我们强烈地感受到课堂中搏动着的强大教育力量的时候，我们就会不自觉地去寻找这些力量的来源，试图去分清楚究竟是什么力量在改变学生的思维路线，是什么在吸引他们，使他们兴奋、激动和投入，是什么让课堂中的教师充满幸福感……
　　小学数学，从做题意义上来讲，很简单；但是从奠基意义上说，却很不简单。仰望星空的人，看得到1+1=2中的函数思想，看得到试商等“笨办法”中“大智若愚”的一面，看得到如此初等的数学背后长长的思想隧道；有教育智慧的人，会把复杂的东西教得简单，会把简单的东西教得有厚度，会让人从一个概念、一个公式、一个算法中看到整个学科的魅力。——一句话，当教师的眼里有真正的数学，当课堂中有真正的儿童，数学教育就找到了那个撬动地球的支点。
　　然而，教学常常是疲乏的：课堂时常被形式占据主角，教师时常被他人占据头脑，勇气时常被名利所击退，创造时常被习惯所套牢……数学与儿童就被淡忘了。
　　唯愿一堂精致的公开课能够使大家重温教学的经典力量，能够唤起我们对什么是数学，什么是教学的追问。

大成若缺认识“圆”
●北京  华应龙

课前慎思
　　《圆的认识》一直是小学高年级数学的教学内容，几乎所有的小学数学名师都用过这节课来“吟诗作画”，后生新秀们更是频频用这节课来“小试牛刀”。因此，有关这一内容的课例可谓异彩纷呈。
　　我在欣赏品味之余，发现自己和同行们对于这节课的处理主要存在三个问题：第一，注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征，不重视引导学生通过推理、想象、思辨等思维活动来概括圆的特征；第二，注重让学生学会“用圆规画圆”，不重视让学生思考“为什么用圆规可以画出圆”；第三，注重数学史料的文化点缀，不重视数学史料文化功能的挖掘。
　　我思考——“圆的认识”这节课究竟要讲什么？
　　我思考——圆的特征究竟是什么？曲线围成、没有角、半径是直径的一半，是不是特征？“一中同长”的特征是不是需要组织学生小组合作研究？这是不是为了“研究报告”而组织的研究？
　　我思考——半径和直径是不是应该“浓墨重彩”去渲染？“圆”的概念都没有给出，是否需要咬文嚼字地概括出“半径”和“直径”的概念？揭示两者概念后，让学生从一个圆内各个不同的线段中挑出“半径”和“直径”，有没有哪位老师见过学生有错？学生都不会有错的活动，要不要组织？
　　我思考——半径和直径的关系是不是教学难点？要不要研究？是否“顾名思义”就可以理解？得出关系后的填表练习，练习的究竟是两者关系，还是乘以2和除以2的口算？我们是不是总是好为人师，以为我们不讲学生就不会？熟能生巧，但熟还能生厌，那熟是不是还能生笨呢？爱因斯坦的话——“取一块木板在上面寻找最薄弱的部位，在那些容易打孔的地方钻开无数个孔”——会给我们什么启发？
　　我思考——量出半径都相等，就科学、深刻吗？在一个圆内，半径和直径真的画不完吗？画不完就能说明“有无数条”吗？“半径都相等”和“直径都相等”要不要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”？以后再说“正方形的四条边都相等”，还要不要加上“在同一个正方形中”呢？数学上的严谨就是这样的吗？这是不是教学内容上的形式主义？
　　我思考——圆的画法是应该教，以促进学生更好地学，但应该一二三地教吗？是不是在学生容易疏忽的两个地方“手拿住哪里”、“两脚之间的距离是直径还是半径”点破就可以了？学生抑或老师画出的不圆，是否就该随手擦掉？那些“不圆”的作品，是不是课堂中的生命体？是否应该珍惜？
　　我思考——我们的小学数学教学是否应该不仅关注“是什么”和“怎样做”，还应该引导学生去探究“为什么”和“为什么这样做”？这样是不是才凸显出“数学是思维的体操”这一学科特色？是不是应该带领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识？“问题是数学的心脏”，数学老师是否可以给学生一个问题模式，让学生“知道怎样思维”，让学生掌握作为一种“非言语程序性知识”的思维？
　　我思考——“圆”的意蕴实在是丰富，借着这么“圆满”的素材，我们是否可以在培养学生批判性思维和突破常规的创新思维上做些文章，引导学生思考“一定这样吗”？柳暗花明、曲径通幽、殊途同归的心理体验，是否更有利于学生的可持续发展？
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　　经过一段时间的慎思明辨，我认识到“圆”这一节课应该讲的有价值的东西实在是太多了，有舍才有得，一课一得足矣！

教学目标
　　1. 认识圆的特征，初步学会画圆，发展空间观念。
　　2. 在认识圆的过程中，感受研究的一般方法，享受思维的乐趣。

课堂实录
　　一、寻宝中创造“圆”。
　　（课前教师先把学生的橡皮都“借”走了。）
　　师（很神秘）：小明参加头脑奥林匹克的寻宝活动，得到这样一张纸条——“宝物距离你左脚3米。”（稍顿）你手头的白纸上有一个红点，这个红点就代表小明的左脚，想一想，宝物可能在哪儿呢？用1厘米表示1米，请在纸上表示出你的想法。
　　（学生独立思考，在纸上画着……）
　　师：刚才我看了一圈，同学们都在纸上表示出了自己的想法。（同时课件演示）宝物可能在这——

　　师：找到这个点的同学，请举手。（几乎全班举手。）还可能在其他位置吗？（学生们纷纷表示还有其他可能，教师用课件依次出示2个点、3个点、4个点、8个点、16个点、32个点，直到连成一个圆。）
　　师（笑着）：这是什么？（板书：①是什么？）
　　生（有的惊讶、有的惊喜）：圆！
　　师：刚才想到圆了的同学请举手！（十几位学生举手。）开始没想到的同学，现在认同了吗？那宝物可能在哪儿呢？
　　生（高兴地）：宝物的位置在这个圆上。
　　师：谁能说一说这是怎样的一个圆？
　　生1：这是一个有宝物的圆！
　　（学生们善意地笑了。）
　　生2：宝物就在小明周围！
　　师（点头）：说得真好，周围这个词用得没错！周围的范围可大了……
　　生（迫切地）：宝物在距离左脚3米的位置。
　　（大家鼓掌。）
　　师：是啊，他强调了左脚。这个左脚也就是圆的什么？
　　生（争先恐后地）：圆心！！
　　师：没错，叫圆心。（板书：圆心）也就是以左脚为圆心。他刚才还强调了，距离左脚3米，这个“距离”3米，知道叫什么名称吗？
　　生：直径！半径！（教师板书：半径  直径）
　　师：直径还是半径？
　　生（绝大部分学生）：半径！
　　师：现在，用上“圆心”、“半径”，谁能清楚地说一说这个宝物可能在哪儿？
　　生：以他左脚为圆心，半径3米的圆内。
　　师：在圆内还是在圆上？
　　生（纷纷纠正道）：在圆上！
　　师：刚才董思纯很精彩的发言，把两个要素都说出来了，是不是只要说“以什么为圆心，以多长为半径”就把这个圆确定下来了？（学生们纷纷点头。）
　　二、追问中初识“圆”。
　　师：咦——为什么宝物可能在的位置就是个圆呢？（板书：②为什么？）
　　生1：因为宝物所在位置是以小明左脚为定点旋转一圈，所以宝物所在位置是个圆。
　　生2：因为纸条上并没有明确地指出宝物在左脚3米的哪个地方！
　　师：要圆满地回答这个问题，需要知道圆有什么特征。想一想，圆具有什么特征呢？
　　生1：圆有无数条对称轴。
　　师：对称轴是什么？
　　生1：直径。
　　生2：圆没有棱角。
　　师：圆有什么特征呢？有比较才有鉴别。我们可以把圆和以前学过的图形进行比较。（出示正三角形、正方形、正五边形、正六边形和圆。）
　　生3：圆的半径无论画在哪里它的长都是一样的。
　　生4：圆不能计算面积。
　　生（不认可地）：可以的！
　　生5：长方形、正方形都是由四条直线围成的，而圆是由一条曲线围成的。
　　生6：圆是个封闭图形。
　　师：这句话说得很专业！对，封闭图形。
　　师：孩子们，圆确实具有大家说的这些特点。知道古人是怎么说圆的特征的吗？
　　（板书：圆，一中同长也。）
　　师：明白这句话的意思吗？“一中”指什么？
　　生（抢着说）：一个中心点！圆心！
　　师：什么“同长”？
　　生（争抢着）：半径的长度都一样！直径的长度都一样！
　　师（反问）：圆，是有这个特征吗？
　　（学生们认可地点头。）
　　师（若有所思地）：难道正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们不是“一中同长”吗？（课件出示如下图形。）（略）

    （学生们沉默，紧张地思考着，片刻后陆续举起手来。）
    生（手指课件中的三角形）：如果把线连到三角形的边上，那么两根线段的长度就是不一样的。
    师（恍然大悟地）：哦——连在顶点上的长度是一样的，但连在不是顶点的其他点上就不一样长了！但是圆呢？
    生（纷纷地）：都一样！一样长！
    师：是呀，在圆上的点都是平等的，没有哪个点搞特殊！正三角形内，中心到顶点相等的线段有3条，正方形内有4条，正五边形内有5条……圆呢？
    生（齐）：无数条。
    师：（板书：无数条）这样看来，圆是不是“一中同长”？
    生：对！
    师（神秘地）：请看——（几何画板演示正多边形边数不断增多最终变成“圆”的动态过程。）
    生（惊奇地）：成为一个圆了！
    师（笑着）：现在是正819边形！
    生（情不自禁地）：哇——
    师：现在你有什么想法？圆是——
    生（争着站起来大声说道）：我认为圆是一个正无数边形！
    师（欣赏地）：佩服佩服！用老子的话来说就是“大方无隅”（在课题位置板书：大方无隅。）“大方”就是最大最大的方，猜一猜，“隅”是什么意思？
    生（异口同声地）：角！
    师：真佩服！不是猜，都知道。这样看来，圆是不是“一中同长”？
    生：对！
    师（感慨地）：圆真是具有这样的特征！那刚才同学们说的对不对呢？（出示椭圆）它也是由一条曲线围成，没有角。（学生会意。）“圆，一中同长也”才是圆的特征，由这个特征能衍生出圆的其他特点来。“圆，一中同长也”，是墨子说的。墨子的发现比西方人早了1000多年……
    生（惊叹地）：哇——
    师：那就让我们带着这份自豪，学着古人的样子读一读这句话。（学生读。）
    师：“圆，一中同长也”，在寻宝的问题里，“一中”就是小明的“左脚”，“同长”就是3米，具备圆的特征，当然就是圆了。“为什么宝物所在的位置是个圆”的问题解决了吗？（学生们频频点头。）
    三、画圆中感受“圆”。
    师：刚才我巡视的时候，发现同学们都会画圆了！会画圆的请举手！（学生们热情地高举起小手来。）画圆一般得用圆规，古人说“没有规矩，不成方圆”。现在请大家用圆规画一个直径是4厘米的圆。边画边想：我们是怎样画圆的？（板书：③怎样做？）
    （学生们立刻投入地画起来，教师巡视并收集学生不圆的作品。刚展示一幅不圆的作品，学生们都笑起来。）
    师：孩子们，圆的样子都是一样的，不圆的样子就各有各的不同。想想这样的“不圆”是怎样被创造出来的？
    （学生们热情高涨，争抢着举起手来。）
    师：想——不说——继续欣赏！
    （接下来的两幅作品仍不圆，学生会意地、开心地笑了。）
    师（疑惑地）：怎么回事？怎么会这样呢？从这些作品中，我们是不是看出画圆并不是件太容易的事。（学生纷纷点头。）
    （教师出示树枝。）（略）

    师：树枝，哈哈，原始的圆规，用这个圆规在沙地上能不能画出圆来？
    生（异口同声）：能！
    师（笑着）：我们小时候都玩过。（继续出示圆规。）（略）

    师：这是我们现在用的圆规。这个圆规的优点当然是两个脚之间的距离可以变化，所以我们可以画出大小不同的圆来。
    生（点头）：对！是！
    师：但是刚才我们就是用这样的圆规来画圆的，怎么会创造出那些不圆的作品呢？
    （学生们争着举手要发表看法。）
    师（会意地）：是不是它的缺点也是这两个脚能动啊？
    （学生十分肯定：对！）
    师：所以，画圆时我们的手应该拿住哪儿才行？
    （学生已经迫不及待，很多人站起来举手。）
    生1：手应该拿住把柄！
    生2：抓住“头”！
    师（微笑）：“把柄”这个词用得很好！形象地说就是抓住它的头！你可别捏住它的脚——
    生（笑）：那就动不了了！距离就变了！
    师（思考着）：刚才我看到同学们的作品还有点纳闷，大家画一个直径4厘米的圆，那么画出来是不是应该一样大的？但是我看到有大有小。你觉得要圆满地完成这个画圆的任务，圆规两脚的距离应是多少？
    生（争抢着）：是半径！半径2厘米。
    师：对，圆规两脚的距离就是半径。那现在我也来画一个圆！（画完后）谁能在这个圆上标出一条半径？
    生（争先恐后地）：我！我！
    师：我们看他是怎样画的？他在找什么？
    生：圆心。
    （学生画出了半径后，大家不约而同地为他准确的画法鼓起掌来。）
    师：他画得多认真呀！谁再来画一条直径呢？
    师（请一位没有举手的学生）：虽然没举手，但请你来好吗？
    生（有些不好意思）：我不会，我试试吧。
    师（风趣地）：不会，试试！想好了试，我们也没黑板擦呦！
    （学生画好直径后，掌声响起来。）
    师（感慨地）：其实学习也不难，学习就是猜想、尝试！敢于试，不就行了吗？
    师：半径是一条线段，一端在哪儿？另一端在哪儿？
    生：一端在圆心，另一端在圆上。
    师：直径是一条怎样的线段呢？同桌互相说说。
    生1：两端都在圆上。
    生2：还要通过圆心。
    师（指着黑板的圆）：这个圆心，一般用字母o表示，半径一般用字母r表示，直径用字母d表示。（边介绍边标注在圆上相应的位置。）
    师：半径与直径之间什么关系呀？
    生（几乎是喊着）：2倍关系！一半！（教师板书：d=2r。）
    师：刚才我们研究完了怎样画圆——先确定圆规两脚之间的距离，然后拿住头固定一个点，旋转。我们是不是又应该思考“为什么这样做”呢？（板书：④为何这样做？）（学生思考，没有人回应。）
    师：随手不能画出一个圆，用圆规这样（手拿圆规比划）就能画出一个圆了，为什么？
    生1：我们不能准确判断中心点和手的距离，而圆规是两个点固定了，绕一圈就可以画出个圆了。
    生2：因为圆规可以旋转，而手不好旋转。
    生3：因为“没有规矩，不成方圆”。
    （引得全班开心地笑起来。）
    生4：圆规是没有生命的，它可以一动不动好长时间。
    师：她说的“一动不动”太重要了！刚才我们在画圆的时候圆心是一动不动、半径是一动不动！不过，除了一动不动，还有动的…….
    生（热切地呼应）：旋转！
    师：对对对，这么一旋转，因为确定了长度，“同长”，确定了圆心，“一中”，没有两个“中”，所以画出曲线上的所有点和圆心的距离都一样长（生点头），这就符合了圆的特点——“圆，一中同长也。”符合圆的特点，当然就是一个圆了。
    四、篮球场上解释“圆”。
    师（手指板书）：刚才我们通过追问这样四个问题：“是什么？为什么？怎么做？为何这样做？”我们一起认识了圆，知道了圆的特征，知道了怎样画圆，还增长了学问。学问，学问，就是要学会去“问”。一般的研究就是追问这样的问题。请继续看——
    （出示篮球场画面，学生们很兴奋。）
    师：是什么？篮球场的中间是什么？为什么？篮球场的中间为什么要做成一个圆呢？看过篮球比赛吗？如果说你没有注意篮球比赛是怎么开始的，你就不能很好地回答这个问题。
    （很多学生已经站起来要争抢着发言了，教师并不急于请学生回答。课件播放NBA开赛录像。）
    师：现在明白为什么了吗？
    （学生们已经按捺不住发言的欲望了，纷纷高举小手。）
    生1：这样才公平！
    生2：我帮他补充一下，这样就看谁的反应快，球就归谁了！
    生3（迫不及待地起身）：因为圆的半径是处处相等的，所以球员站在圆的旁边是很公平的，他们离球的距离都一样！
    （同学们都赞同地点头，并为他的精彩发言不约而同地鼓起掌来。）
    师：其实还是回到圆的特征上来说——“圆，一中同长也。”大家都在圆上，球在圆心，大家离球的距离都一样，这样才公平。再想想，怎样画这个大圆呢？
    生（窃窃私语）：拿大圆规！
    师（笑）：拿大圆规，超大圆规，谁来画？超人吗？没有圆规能画圆吗？
    （学生们：能！）
    师：怎么画呢？小组商量一下！
    （学生立刻投入热烈的讨论。）
    生1：用两个量角器来画！
    （学生们立刻反问：有那么大吗？！）
    师：想到用量角器好不好？
    生（齐声）：好！
    师：想到这点真好，用两个一拼起来，沿着边就可以画。不过要画个大圆的话真要找个大量角器呢！
    生2（自信地）：我觉得先要量出想要画的圆的半径，然后用一个绳子固定住中心点，再绕一圈就是一个圆了！
    （老师用绳子比划画圆，学生们掌声响起来。）
    生3：还可以很多人手拉手围成一个圈！
    生4：但是不圆啊。
    师：但是！但是很重要，不过，我觉得说“但是”之前，应该先说她的创意好不好。首先应该看到别人好的地方，然后再说“但是……”
    ……
    师：（课件出示用绳子画圆）为什么没有规矩也画出了圆呢？
    生1：因为他确定了圆心！
    生2：还确定了半径！
    生3：道理都是一样的。确定了圆心，确定了半径，然后再绕一圈。
    （老师竖起大拇指，学生们给予掌声。）
    师：是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径”是多么重要的两个词啊！其实呀，孩子们，没有规矩不成方圆，这句话还是对的！这样画遵照了画圆的规矩。圆有圆的规矩，方有方的规矩，做人有做人的规矩，研究问题有研究问题的规矩。
    （手指板书的四个问题）同学们，篮球场上中圈的问题研究完了，你觉得这样追问研究有意思吗？
    生（齐）：有意思！
    五、再次寻宝突破“圆”。
    师：20世纪最伟大的科学家爱因斯坦说——我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。孩子们，我要告诉你们，科学家们还喜欢追问这个问题：“一定这样吗？”（板书：⑤一定这样吗？）
    师（回味地）：请看——“宝物距离你左脚3米”，宝物一定在左脚为圆心、半径是3米的圆上吗？（略）

    （沉静，学生们陷入紧张的思考，没有举手。老师出示半个西瓜的图片，很多学生恍然大悟，马上举起手来。）
    生1：宝物也有可能在地下、西瓜皮上。
    生2：也有可能在上面，在树枝上。
    生3：以左脚为球心，半径是3米的球上。
    师：是啊！现在看，圆是一中同长的，球也是一中同长的。圆和球最大的不同是什么？
    生：一个是平面的，一个是立体的。
    师：说得真专业！关于球，详细的研究要到高中。不过，在一个平面内，“一中同长”的就是圆，不是球。
    六、课后延伸研究“圆”。
    教师引导学生按照前面板书的五个问题来研究身边的圆，最后用课件出示生活中带有各种圆的物品。学生兴奋得久久不愿下课。

课后反思
　　已经拖课了，学生还是不愿意下课。
　　师父张兴华满意地对我们几个徒弟说：“应龙的这节课，我就七个字——浑然大气铸成圆！”
　　认识决定行为。备课时，我就觉得半径、直径不要像原来那样教，一问学生“这是一个多大的圆”，学生就会说出“半径、直径”。事实也是这样，就让自己不再思考了。试教后一反思，才发现“宝物在哪儿呢”是个更妙的问题，首先是回答了探讨的问题，其次是凸显了圆心定位置，半径定大小。现在想来，这样问，味道好极了！
　　正像电影《阿甘正传》中，阿甘妈妈对阿甘说的：“要想往前走，就得甩掉过去。”是啊，我今天的教法不就是想“甩掉过去”吗？但甩掉别人的过去容易，甩掉自己的过去就难了。我是这样，听课老师会不会也是这样，而不肯接受我这节课呢？不管那么多了。数学研究者往往是孤傲的，认为只有自己发现的“1”才是对的，我应该再思考，再否定自己，就像硬汉海明威说的“比别人优秀并无任何高贵之处。真正的高贵在于超越从前的自我”。
　　顿悟：几何画板上显示“正多边形和圆的关系”应该从正六边形开始，这样暗合了刘徽割圆术也是从正六边形开始的，并且解决了几何画板上正三角形不正、看着不舒服的问题，还解决了与前面研究正三角形、正方形、正五边形、正六边形“一中同长”重复的问题。哈哈，反思真好！
    在完成了“为什么没有规矩也画出了圆”的追问，我说——是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径”是多么重要的两个词啊！——之后，看到学生闪亮的眼睛，我心里真舒畅。这样不就把经验、直观与抽象结合起来了吗？数学的抽象首先是一个过程，其次不就是建立一套术语概念系统吗？
　　……
　　整体感受——在学生需要教的时候再教，效果就是好。
　　自己以前多次教过《圆的认识》，为什么没有今天这么享受呢？莫名地，我想起《老子》第四十五章：“大成若缺，其用不弊。大盈若冲，其用不穷。大直若屈，大巧若拙，大辩若讷……”
    那我“成”在哪儿呢？爱因斯坦曾说：“用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，学生可以成为一种有用的机器，但不能成为和谐发展的人。要使学生对价值（社会伦理准则）有了理解并产生出热烈的情感，那才是最基本的。”在没有增加新知识点的情况下，上得学生不愿意下课，让学生体验到不同现象背后的本质是一样的，让学生体验到认识事物“特征”的价值，让学生认识圆的“规矩”的同时感受了研究问题的“规矩”，让学生体验到追问“为什么”是一件很有意味的事情……
　　“花未全开月未圆”，大成“有”缺。那我“缺”在哪儿呢？拖课了，总是不好，那要舍什么？这节课的教学主线是“是什么”、“为什么”等五个问题，那么是否该进一步删繁就简？“大方无隅”等可否舍掉？画圆的环节，已经一题多功能了，可否再压缩？
这节课多处引经据典，是否过“度”了？“度”是几处呢？每一处都与“数学”有关，只是“顺手一投枪”（鲁迅语），那老师“顺手”多了，学生是否会目不暇接、“审美疲劳”？
　　（作者系北京第二实验小学副校长，本实录由石雪纳老师整理。）